Matematika sudoku: mřížky, zadání a jedinečná řešení

Existuje 6 670 903 752 021 072 936 960 platných vyplněných mřížek sudoku 9x9, tedy asi 6.67 x 10^21. Žádný hlavolam nemůže mít méně než 17 zadaných číslic a stále mít jedno řešení a dobře vytvořený hlavolam má vždy právě jedno. Tato stránka uvádí čísla, kdo je dokázal, a co o zadaných číslech a obtížnosti ukazuje náš vlastní katalog. Hodí se hráčům, které zajímají čísla za mřížkou. (Američané hledají „sudoku math“; v britském pravopisu je to „maths“.)

Kolik existuje mřížek sudoku?

„Mřížka“ tu znamená úplně vyplněnou hrací plochu, která dodržuje pravidla řádků, sloupců a čtverců. Bertram Felgenhauer a Frazer Jarvis je spočítali v práci „Enumerating possible Sudoku grids“ (2005) a zjistili 6 670 903 752 021 072 936 960.

Mnoho z těchto mřížek je tatáž hrací plocha v přestrojení. Přeznač číslice (zaměň každou 1 s každou 2), otoč nebo zrcadli hrací plochu nebo zaměň řádky uvnitř vodorovného pásu ze tří a dostaneš jinak vypadající mřížku se stejnou strukturou. Ed Russell a Frazer Jarvis spočítali mřížky zbylé po odstranění těchto symetrií v práci „There are 5,472,730,538 essentially different Sudokus“ (2006). Odpověď je číslo v názvu: 5 472 730 538.

Kolik existuje hlavolamů sudoku?

Víc než mřížek a nikdo neuvádí jedno dohodnuté číslo. Hlavolam je mřížka se skrytými číslicemi, takže z jedné mřížky vzniká obrovské množství hlavolamů. Jako řádné hlavolamy se počítají jen ty, které mají stále právě jedno řešení, a tuto kontrolu je třeba provést hlavolam po hlavolamu. Pro hraní je praktická odpověď „mnohem víc, než kdo zvládne vyřešit za život“. Náš katalog je vzorek, ne součet celého prostoru: obsahuje až 1 000 hlavolamů na úroveň a režim, seřazených podle obtížnosti.

Jaké je minimum zadaných čísel v sudoku?

17. V roce 2012 Gary McGuire, Bastian Tugemann a Gilles Civario dokázali, že žádný hlavolam se 16 zadanými čísly nemá jedinečné řešení, v práci „There is no 16-clue Sudoku: solving the Sudoku minimum number of clues problem“. Jejich prohledávání bylo vyčerpávající a zabralo velmi mnoho počítačového času, a proto otázka zůstávala léta otevřená.

Už předtím byly známy hlavolamy se 17 zadanými čísly. Gordon Royle spravoval jejich veřejnou sbírku a žádný se 16 nebyl nikdy nalezen. Důkaz otázku uzavřel: 17 je dno.

Číslo 17 je matematická mez, ne herní standard. Takto řídké hlavolamy jsou vzácné a zajímavé většinou pro badatele. Náš klasický hlavolam s nejméně zadanými čísly jich má 19 a typické hlavolamy mají zadaných čísel v polovině 20 (tabulka níže).

Má každé sudoku jedinečné řešení?

Ne. Každá mřížka s odstraněnými číslicemi je v širokém smyslu „hlavolam“, ale mnoho takových hrací ploch má dvě nebo více platných dokončení. Řádně vytvořené sudoku má právě jedno a to je standardní konvence: vyžadovala ho Nikoli, vydavatelství, které hlavolam v Japonsku zpopularizovalo (viz historie sudoku).

Jedinečnost záleží z praktického důvodu. Pokud má hlavolam jedno řešení, každý krok čisté logiky k němu vede a nikdy nemusíš hádat. Pokud má dvě, řešitel může být v každém kroku správně a přesto skončit na „špatné“ odpovědi.

Jak to ověřujeme: každý hlavolam na tomto webu má před zveřejněním dokázáno, že má právě jedno řešení. Řešitel hledá řešení, pak hledá druhé a hlavolam se zamítne, pokud druhé existuje. Každý hlavolam je také ohodnocen naším portem Sudoku Explaineru, který zaznamenává nejtěžší potřebný logický krok. Stejná kontrola jedinečnosti platí i pro killer a 16x16 hlavolamy.

Je sudoku matematika?

Klasické sudoku nepoužívá žádnou aritmetiku. Číslice jsou jen devět různých symbolů: mohl bys je zaměnit za devět písmen nebo devět barev a nic se nezmění. Řešení je logika, vylučování možností, takže je blíž dedukční hádance než počítání. Proto mohou hrací plochy 16x16 po 9 používat A až G.

Matematika je za hlavolamem, ne v něm: počítání mřížek, symetrie a dokazování minimálního počtu zadaných čísel jsou kombinatorika a počítačové prohledávání. Výsledek se 17 zadanými čísly je příkladem úlohy o pokrývající množině vyřešené vyčerpávajícím výpočtem.

Aritmetika se objevuje ve variantách. V killer sudoku musí číslice v každé kleci dávat cílový součet, takže uvažuješ o součtech a o tom, které kombinace číslic je mohou dát.

Dělá méně zadaných čísel sudoku těžším?

Ne spolehlivě. Počet zadaných čísel říká, kolik ti je sděleno, ne jak hluboká je logika. Zde jsou počty zadaných čísel našich klasických hlavolamů 9x9 podle úrovně z našeho katalogu k 29. září 2026:

Vyniknou dvě věci. Průměrný počet zadaných čísel klesá od Lehké po Mistra, ale Legendární má v průměru víc zadaných čísel (25.3) než Mistr (24.4), přestože je hodnocena jako těžší. A Těžký hlavolam může mít 44 zadaných čísel. Obtížnost se řídí nejtěžší technikou, kterou hlavolam vynutí, měřenou na škále Sudoku Explaineru, ne počtem zadaných čísel. Co každé pásmo vyžaduje, najdeš v úrovních obtížnosti.

Killer to zdůrazňuje ještě víc. Naše killer hlavolamy úrovní Expert, Mistr a Legendární nemají žádná zadaná čísla: řešení určují samotné klece.

Pokud chceš ten účinek zažít sám, zkus Legendární hlavolam a podívej se, jak málo zadaných čísel dostaneš a kolik logiky přesto vyžadují. Nejtěžší hlavolamy sudoku to posouvají ještě dál. Jsi v pravidlech nový? Začni jak hrát sudoku.