Математика на судоку: дъски и единствено решение

Има 6 670 903 752 021 072 936 960 валидни попълнени дъски 9x9 на судоку, около 6.67 x 10^21. Нито един пъзел не може да има по-малко от 17 дадени цифри и пак да има едно решение, а добре направеният пъзел винаги има точно едно. Тази страница дава числата, кой ги е доказал и какво показва нашият каталог за дадените цифри и трудността. Подхожда на играчи, които се интересуват от числата зад дъската.

Колко дъски на судоку има?

„Дъска“ тук означава напълно попълнена решетка, която спазва правилата за редове, колони и блокове. Bertram Felgenhauer и Frazer Jarvis ги преброяват в „Enumerating possible Sudoku grids“ (2005) и намират 6 670 903 752 021 072 936 960.

Много от тези дъски са една и съща дъска, дегизирана. Преименувай цифрите (смени всяка 1 с всяка 2), завърти или отрази дъската или разменяй редове в рамките на лента от три и получаваш дъска с различен вид, но същата структура. Ed Russell и Frazer Jarvis преброяват дъските, останали след премахването на тези симетрии, в „There are 5,472,730,538 essentially different Sudokus“ (2006). Отговорът е числото от заглавието: 5 472 730 538.

Колко судоку пъзела има?

Повече, отколкото има дъски, и никой не цитира едно общоприето число. Пъзелът е дъска със скрити цифри, така че от една дъска възниква огромен брой пъзели. Като истински пъзели се броят само онези, които още имат точно едно решение, а тази проверка трябва да се прави пъзел по пъзел. За играта практичният отговор е „много повече, отколкото някой може да реши за един живот“. Нашият каталог е извадка, а не преброяване на цялото пространство: съдържа до 1 000 пъзела на ниво и режим, подредени по трудност.

Какъв е минималният брой дадени цифри в судоку?

17. През 2012 г. Gary McGuire, Bastian Tugemann и Gilles Civario доказват, че никой пъзел с 16 дадени цифри няма единствено решение, в „There is no 16-clue Sudoku: solving the Sudoku minimum number of clues problem“. Търсенето им е изчерпателно и отнема огромно количество компютърно време, затова въпросът остава отворен с години.

Преди това вече се знаят пъзели със 17 дадени цифри. Gordon Royle поддържа публична колекция от тях и никога не е намерен такъв с 16. Доказателството затваря въпроса: 17 е долната граница.

Седемнадесет е математическа граница, а не стандарт за игра. Толкова оскъдните пъзели са редки и интересуват най-вече изследователи. Нашият класически пъзел с най-малко дадени цифри има 19, а типичните пъзели са около средата на 20-те (таблицата по-долу).

Има ли всяко судоку единствено решение?

Не. Всяка дъска с премахнати цифри е „пъзел“ в свободен смисъл, но много такива дъски имат две или повече валидни попълвания. Правилно направеното судоку има точно едно и това е стандартната конвенция: Nikoli, издателят, който популяризира пъзела в Япония, я е изисквал (виж историята на судоку).

Единствеността има практична причина. Ако пъзелът има едно решение, всяка стъпка на чиста логика води към него и никога не трябва да налучкваш. Ако има две, решаващият може да е прав на всяка стъпка и пак да завърши с „грешния“ отговор.

Как го проверяваме: за всеки пъзел на този сайт е доказано, че има точно едно решение, преди да бъде публикуван. Решавачът търси решение, после търси второ и пъзелът се отхвърля, ако второ съществува. Всеки пъзел се оценява и от нашия порт на Sudoku Explainer, който записва най-трудната логическа стъпка, която е нужна. Същата проверка за единственост покрива килър и 16x16 пъзелите.

Математика ли е судокуто?

Класическото судоку не ползва аритметика. Цифрите са просто девет различни символа: можеш да ги смениш с девет букви или девет цвята и нищо не се променя. Решаването е логика, елиминиране на възможности, така че е по-близо до пъзел за извеждане, отколкото до сметка. Затова дъските 16x16 могат да ползват A до G след 9.

Математиката е зад пъзела, а не в него: броенето на дъски, симетрията и доказването на минимален брой дадени цифри са комбинаторика и компютърно търсене. Резултатът със 17 цифри е пример за задача за покриващо множество (hitting set), решена с изчерпателно изчисление.

Аритметика се появява във вариантите. В килър судоку цифрите във всяка зона трябва да се сумират до зададена цел, така че разсъждаваш за суми и кои комбинации от цифри могат да ги дадат.

Прави ли по-малкото дадени цифри судокуто по-трудно?

Не непременно. Броят на дадените цифри казва колко ти е казано, а не колко дълбока е логиката. Ето броя на дадените цифри в нашите класически пъзели 9x9 по ниво, от нашия каталог към 29 септември 2026:

Две неща се набиват в очи. Средният брой дадени цифри пада от Лесно до Майстор, но Легендарно има средно повече (25.3) от Майстор (24.4), макар да е оценено като по-трудно. И пъзел Трудно може да има 44 дадени цифри. Трудността следва най-трудната техника, която пъзелът налага, измерена по скалата на Sudoku Explainer, а не броя на дадените цифри. Виж нивата на трудност, за да разбереш какво изисква всяка лента.

Килър прави тезата по-ясна. Нашите пъзели Експерт, Майстор и Легендарно в килър нямат никакви дадени цифри: само зоните фиксират решението.

Ако искаш сам да усетиш ефекта, пробвай Легендарен пъзел и виж колко малко дадени цифри получаваш и колко логика пак се изисква. Най-трудните судоку пъзели отиват още по-далеч. Нов си в правилата? Започни с как се играе судоку.