Có 6.670.903.752.021.072.936.960 lưới sudoku 9x9 hoàn chỉnh hợp lệ, khoảng 6.67 x 10^21. Không câu đố nào có thể ít hơn 17 chữ số cho sẵn mà vẫn có một lời giải, và một câu đố làm tốt luôn có đúng một lời giải. Trang này đưa ra các con số, ai đã chứng minh chúng, và danh mục của chính chúng tôi cho thấy gì về gợi ý và độ khó. Nó phù hợp với người chơi tò mò về những con số đằng sau lưới.
"Lưới" ở đây nghĩa là một bảng điền đầy tuân theo luật hàng, cột và khối. Bertram Felgenhauer và Frazer Jarvis đã đếm chúng trong "Enumerating possible Sudoku grids" (2005) và tìm ra 6.670.903.752.021.072.936.960.
Nhiều lưới trong số đó là cùng một bảng được ngụy trang. Đổi nhãn chữ số (hoán đổi mọi số 1 với mọi số 2), xoay hoặc lật bảng, hoặc hoán đổi các hàng trong một dải ngang ba hàng, và bạn có một lưới trông khác nhưng cấu trúc y hệt. Ed Russell và Frazer Jarvis đã đếm các lưới còn lại sau khi loại các đối xứng đó trong "There are 5,472,730,538 essentially different Sudokus" (2006). Đáp án là con số trong tiêu đề: 5.472.730.538.
Nhiều hơn số lưới, và không ai nêu một con số thống nhất. Một câu đố là một lưới với vài chữ số bị giấu, nên một lưới sinh ra một số lượng câu đố khổng lồ. Chỉ những câu vẫn có đúng một lời giải mới tính là câu đố đúng nghĩa, và phép kiểm tra đó phải làm từng câu một. Với việc chơi, câu trả lời thực tế là "nhiều hơn bất kỳ ai giải nổi trong một đời". Danh mục của chúng tôi là một mẫu, không phải số đếm của cả không gian: nó chứa tới 1.000 câu đố cho mỗi mức và chế độ, xếp theo độ khó.
Trước đó, các câu đố 17 gợi ý đã được biết. Gordon Royle duy trì một bộ sưu tập công khai của chúng, và chưa từng tìm thấy câu nào có 16. Chứng minh khép lại câu hỏi: 17 là sàn.
Con số 17 là giới hạn toán học, không phải chuẩn chơi. Câu đố thưa như vậy hiếm và chủ yếu thú vị với các nhà nghiên cứu. Câu cổ điển ít gợi ý nhất của chúng tôi có 19 gợi ý, và câu điển hình nằm quanh giữa khoảng 20 (bảng dưới).
Không. Mọi lưới bị bỏ bớt chữ số đều là một "câu đố" theo nghĩa lỏng, nhưng nhiều bảng như vậy có hai hoặc nhiều cách hoàn thành hợp lệ. Một sudoku làm đúng cách có đúng một, và đó là quy ước chuẩn: Nikoli, nhà xuất bản làm câu đố phổ biến ở Nhật, đã yêu cầu điều đó (xem lịch sử Sudoku).
Tính duy nhất quan trọng vì một lý do thực tế. Nếu câu đố có một lời giải, mỗi bước logic thuần túy dẫn tới nó, và bạn không bao giờ cần đoán. Nếu có hai, người giải có thể đúng ở mọi bước mà vẫn kết thúc ở đáp án "sai".
Cách chúng tôi kiểm tra: mọi câu đố trên trang này được chứng minh có đúng một lời giải trước khi đăng. Trình giải tìm một lời giải, rồi tìm lời giải thứ hai, và câu đố bị loại nếu có lời giải thứ hai. Mỗi câu đố cũng được chấm bằng bản port Sudoku Explainer của chúng tôi, ghi lại bước logic khó nhất cần dùng. Cùng phép kiểm tra tính duy nhất áp dụng cho câu Killer và 16x16.
Sudoku cổ điển không dùng số học. Các chữ số chỉ là chín ký hiệu khác nhau: bạn có thể đổi chúng sang chín chữ cái hoặc chín màu mà không gì thay đổi. Giải là logic, là loại trừ khả năng, nên nó gần câu đố suy diễn hơn là phép tính. Đó là lý do bảng 16x16 có thể dùng A đến G sau số 9.
Toán học nằm đằng sau câu đố chứ không ở trong nó: đếm lưới, đối xứng, và chứng minh số gợi ý tối thiểu là tổ hợp học và tìm kiếm bằng máy tính. Kết quả 17 gợi ý là một ví dụ về bài toán tập đánh trúng được giải bằng tính toán vét cạn.
Số học xuất hiện trong các biến thể. Trong Killer Sudoku các chữ số trong mỗi lồng phải cộng bằng một tổng mục tiêu, nên bạn suy luận về tổng và những tổ hợp chữ số nào tạo ra chúng.
Không chắc. Số gợi ý cho biết bạn được cho bao nhiêu, không phải logic sâu đến đâu. Đây là số gợi ý của các câu cổ điển 9x9 của chúng tôi theo mức, từ danh mục của chúng tôi tính đến ngày 29 tháng 9 năm 2026:
| Mức | Ít gợi ý nhất | Trung bình | Nhiều gợi ý nhất |
|---|---|---|---|
| Dễ | 30 | 34.5 | 36 |
| Trung bình | 22 | 27.8 | 40 |
| Khó | 22 | 27.0 | 44 |
| Chuyên gia | 21 | 24.7 | 29 |
| Bậc thầy | 19 | 24.4 | 28 |
| Huyền thoại | 20 | 25.3 | 31 |
Hai điều nổi bật. Số gợi ý trung bình giảm từ Dễ đến Bậc thầy, nhưng Huyền thoại trung bình nhiều gợi ý hơn (25.3) so với Bậc thầy (24.4), dù được chấm khó hơn. Và một câu Khó có thể có 44 gợi ý. Độ khó đi theo kỹ thuật khó nhất mà câu đố buộc phải dùng, đo trên thang Sudoku Explainer, không phải số chữ số cho sẵn. Xem các mức độ khó để biết mỗi dải đòi hỏi gì.
Killer làm điểm này rõ hơn. Các câu Killer Chuyên gia, Bậc thầy và Huyền thoại của chúng tôi không có chữ số cho sẵn nào: chỉ các lồng cố định lời giải.
Nếu bạn muốn tự cảm nhận hiệu ứng này, hãy thử một câu Huyền thoại và xem bạn được cho ít gợi ý thế nào, rồi chúng vẫn đòi hỏi bao nhiêu logic. Các câu sudoku khó nhất đẩy điều đó xa hơn. Mới với luật chơi? Hãy bắt đầu với cách chơi Sudoku.