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近锁定集(ALS)数独技巧

极限经典 + 杀手第 35 步,共 38 步阅读约 1 分钟

近锁定集(Almost Locked Set,ALS)是同一区域内的 n 个格,合起来恰有 n + 1 个不同的候选数,比它能用的多一个。从中拿走任何一个数字,它就变成锁定集,其余每个数字都必定出现。两个这样的集合互相配合,能产生 Wing 和鱼形都够不到的排除。

这个图形是什么

和你已经知道的集合对比一下:

集合格数候选数特性
锁定集(显性数对、三数组、四数组)nn每个数字都被用掉,它们全都从区域的其余部分中排除
近锁定集nn + 1多一个数字;去掉任意一个数字它就锁定

单个双候选数格是最小的近锁定集:一个格,两个候选数。

实际使用的规则叫 ALS-XZ。取两个没有公共格的近锁定集 A 和 B。它们不必共享区域,也不必在同一个宫里;关键在于连接它们的数字。如果 A 中每个 x 都能看到 B 中每个 x,那么两个集合都含有的数字 x 就是受限共同数,所以 x 只能落在其中一个集合里,不会同时落在两个里。再选第二个共同数字 z。哪个集合没拿到 x,它就锁定,而锁定集包含它的所有数字,包括 z。所以 z 在 A 或 B 中,任何在两个集合之外、又能看到两个集合中所有 z 的格,都不能是 z。

什么时候找它

显性数对和三数组不再有收获时,就去扫描它们。行、列或宫里任意两三个多出一个数字的格都算,所以到处都是。技巧在于挑出没有公共格的两个集合,并检验受限共同数。两三个格的集合,几乎对所有局面都够用。

具体怎么做

  1. 列出同一区域里的小格组,其候选数合计比格数多一个。
  2. 把两个没有公共格的格组配成一对。
  3. 找出两组都有、且位置互相都看得到的数字。它就是你的 x。
  4. 在两个集合中再选另一个数字 z。
  5. 标出两个集合中所有含 z 的格。
  6. 从任何能看到所有这些标记格的集合外格中,删除 z。

一个实例

  1. 更简单的技巧已用尽。看第 2 宫和第 3 宫中的 3、7 和 9。

  2. 第 2 宫的 A4 和 C6 只含 3、7 和 9:2 个格里有 3 个数字。这是一个近锁定集 A。

    第 3 宫的 A7 和 B9 含同样的 3 个数字:第 2 个近锁定集 B。

  3. 集合 A 的 9 只能在 A4,集合 B 的 9 只能在 A7。两者都在 A 行,所以两个集合中至多有一个含 9。

    9 是受限共同数。

  4. 情形 1:A 不含 9。则 A4 和 C6 必为 3 和 7,A 中的 7 只能在 C6。

  5. 情形 2:B 不含 9。则 A7 和 B9 必为 3 和 7,所以其中一个是 7。

  6. 至少有一种情形成立,所以 C6、A7 或 B9 中必有一个是 7。

    C8 通过 C 行看到 C6,通过第 3 宫看到 A7 和 B9,所以它不能是 7。

  7. 从 C8 排除 7,因为两个集合中总有一个含 7。

更简单的技巧已用尽。看第 2 宫和第 3 宫中的 3、7 和 9。

集合 A 是宫 2 里的 A4 加 C6 。集合 B 是宫 3 里的 A7 加 B9 。两者都含数字 3、7 和 9,而且位于不同的宫。连接它们的是 9:A 只能在 A4 放它,B 只能在 A7 放它,两个格都在行 A,所以 9 是受限共同数。第二个共同数字是 z = 7。

如果 A 没有 9,它就是 ,7 必在 C6。如果 B 没有 9,它就是 ,A7 和 B9 之一是 7。两种情况必有一种成立,所以 C6、A7、B9 之中有一个 7。C8 通过行 C 看到 C6,通过宫 3 看到 A7 和 B9,所以 C8 失去 7。

常见错误

  • 把格子跨越两个区域的一组当作近锁定集。所有格必须共享同一行、列或宫。
  • 在两个集合里重复使用同一个格。它们必须不相交。
  • 不检查可见性,就把任何共同数字当作受限共同数。
  • 从只看到部分 z 候选数的格里排除,或从集合内部的格里排除。

在哪里遇到它

近锁定集属于极限技巧,与长链同级。它们在传奇题目中发挥作用,那里一个 ALS-XZ 往往能替代一条十环节的长链。它们也是 Death Blossom 的原材料,所以学会它们就同时打开了两个技巧。