困难的杀手数独组合

困难的杀手数独组合是当笼的和选项太多、没法查表时的后备办法。你不再直接读出答案，而是列出和所允许的每一组数字，逐一对照各个格检验，只保留幸存者。

这个图形是什么

极端的和很容易。三格笼的和为 6，只能是 {1, 2, 3}；两格笼的和为 17，只能是 {8, 9}。中间范围的和才是难点：三格加起来为 17 有七种可能，四格加起来为 22 有十一种。

这个技巧填补了这个空缺。只有当组合里的每个数字，在当前候选数下真的能放进笼里不同的格时，这个组合才成立。检验放置方式，丢掉放不下的组合，再逐格收集幸存的数字。剩下多余的，就是排除。

什么时候找它

• 中等大小的笼，三到五格，和位于取值范围的中段。
• 其他技巧已经去掉了部分候选数的笼，此时原始的组合列表已经太宽松。
• 与另一个数字已经确定的笼共处一行、一列或一宫的笼。
• 已经填了一个数字的笼，这通常能把列表砍掉一半。

具体怎么做

1. 写出用正确格数凑成该和的每一组互不相同的数字。
2. 划掉含有笼内任何格都放不了的数字的组合。
3. 对每个剩下的组合，尝试把它的数字分配给各个格。如果没有符合候选数的分配，这个组合就作废。
4. 为每个格收集它在至少一个幸存分配中取到的数字。其他候选数全部删除。
5. 与邻居相交。如果同一区域里的另一个笼已锁定为固定的数对或三数组，这些数字在那个区域里就不能给你笼的格使用，更多组合随之作废。

一个实例

和为 22 的笼覆盖 E1、E2、E3 和 F1，都在宫 4。四格凑成 22 有十一种可能的组合，但 E2 已经是 1，所以 E1、E3 和 F1 必须加起来为 21。看看每个组合是如何检验的。

三个数字凑成 21 有三种方式：4+8+9、5+7+9 和 6+7+8。行 E 已经有 7（E6）和 6（E8），所以 E1 和 E3 都不能取这两个数。这样 F1 必须同时承担 6+7+8 里的 6 和 7，这不可能，所以这一组作废。在 5+7+9 中，E3 只能是 9，E1 只能是 5，所以 F1 是 7。在 4+8+9 中，F1 是 4、8 或 9。

两个幸存的组合都不含 3，所以 3 从 E1、E3 和 F1 中消失。F1 仍可能是 4、7、8 或 9，所以 5 和 6 也从中删除。已填的 1 把十一组缩小到三组，行 E 完成了剩下的工作。

相邻的笼还能进一步缩减列表。在同一区域里锁定为数对或三数组的笼，会把这些数字从你笼在该区域里的格中删除，这是本步骤之后的单独一步。

简单组合与困难组合

常见错误

• 允许重复。 笼内的数字总是互不相同，所以 {5, 5, 7} 永远不是和为 17 的组合。
• 只查数字组合而不查放置。 一个组合可能只含合法的数字，却因为其中两个需要同一格而失败。
• 只做一次。 笼内或附近的每次填数都会缩短列表。盘面一变就重新做。
• 从太大的笼开始。 六格或更多格的笼列表巨大，几乎从不值得花力气。改用它的补集。

在哪里遇到它

这是进阶技巧的活儿。简单和中等的杀手数独围绕只需查表的笼设计，但从困难杀手数独起，出题者特意选中间范围的和，让表格回答不了。熟练地修剪组合，是杀手数独里最大的提速手段。