杀手数独的笼拆分

杀手数独中的笼拆分（Cage Splitting）把一个悬在区域边缘之外的笼切成两半，每一半有自己的和值。一个别扭的笼变成两个小笼，而小笼正是杀手数独交出数字的地方。

这个图形是什么

每行、每列、每宫恰好包含数字 1 到 9 各一次，所以总和都是 45。这就是 45 法则，是这项技巧背后的引擎。

选一个区域，通常是宫。把完全位于其中的笼加起来。45 缺少的部分，属于越过边界的那个笼的格子。这样你就知道了那个笼在区域内的总和，用笼标出的和值减去它，就得到外部的总和。一个笼变成了两个虚拟笼，各有一个可以枚举的和值。

什么时候找它

• 一个宫或一条线上恰好有一个笼探出边缘，其余的格被完整的笼覆盖。
• 跨区的笼在内侧有两三个格，这样拆分后留下的是一个很小的和，而不是模糊的和。
• 单格内凸格和外凸格没有给你任何东西，因为剩下的格不止一个。
• 区域内有一个锁定集。你不需要显性数对的具体数字，只需要它的总和，这就足以完成算术。

具体怎么做

1. 选一个你能算清楚的区域。它的总和是 45。
2. 把完全位于其中的每个笼的和值加起来，再加上没有被这类笼覆盖的已填数字。
3. 用 45 减去它。余数是跨区笼在该区域内的格的总和。
4. 用笼自己的和值减去内部总和。余数是它在区域外的格的总和。
5. 把每一半当作独立的笼。列出能达到其和值的数字集合，丢掉与原笼中别处已用数字重复的集合，再从格中划去幸存的候选数。

一个实例

看宫 3，以及越过它边缘的 21 笼。

宫 3 的总和为 45。有两个笼完全在其中：15 笼（A8、A9、B9、C9）和 20 笼（B8、C7、C8），合计 35。剩下的两个格 A7 和 B7 之和为 45 - 35 = 10。两者都属于 21 笼（A7、B6、B7、C6、D6），宫的边缘把它一分为二：宫 3 内为 10，B6、C6、D6 为 21 - 10 = 11。

现在枚举内部那一半。A7 只能是 2、3、4、6 或 8，所以 B7 = 10 - A7 必为 8、7、6、4 或 2。B7 = 3 需要 A7 = 7，B7 = 9 需要 A7 = 1。A7 两者都不可能，所以 B7 失去 3 和 9。这里没有填数：拆分给出的是排除，外部格上的 11 要等其他步骤把它缩小。

笼拆分与内凸格、外凸格

常见错误

• 把一个笼算了两次。 只有所有格都在区域内的笼才计入内部总和。出现第二个跨区笼，这个方法就失效。
• 忘了原笼。 两半仍然共享同一个笼，所以一侧用过的数字不能在另一侧重复出现。
• 只做内部那一半。 外部的总和通常更有价值，尤其当它只覆盖一两个格时。
• 忽略已填数字。 没有被完整内部笼覆盖的已解格，仍然要计入内部总和。

在哪里遇到它

笼拆分是进阶技巧。简单和中等的杀手数独靠普通组合和单格内凸格就能解决，但从困难杀手数独起，你会遇到只有把跨区的笼切成两半才能打开的宫。值得练到算术成为自动反应，因为它上面的魔鬼技巧都假定你已经能看出这些和值。