多格内凸与外凸

多格内凸与外凸是 45 法则的进阶版：不再只看一个剩余格，而是算出两个或更多剩余格的总和，再把这一组格当作盘面上从未画出的笼来处理。

这个图形是什么

每行、每列、每宫都恰好包含 1 到 9 各一次，所以每个区域的总和是 45。两行（或两列）合起来是 90，三行是 135。互不重叠的一个宫加一行，同样是 90。

选一个由完整区域构成的范围。把完全位于其中的笼的和值加起来。它与该范围总和的差，属于剩下的那些格，这些格属于跨区笼。只剩一个格时，你得到一个数字。剩下两个或更多格时，你得到一个虚拟笼：一组和值已知、但没有印出轮廓的格子。像对待真正的笼一样枚举它，把没有出现在任何有效拆法里的候选数划掉。

什么时候找它

• 一行、一列、一个宫，或由其中两三个组成的带，除了两三个零散的格子之外，都被完整的笼覆盖。
• 有两个或更多笼跨越边界，所以单格内凸与外凸用不上。
• 剩余和值相对于格数来说很极端：两个格的总和为 7，或三个格的总和为 23，能大幅削减候选数。

具体怎么做

1. 选好范围，写下它的总和：45、90 或 135。
2. 把完全位于范围内的每个笼加起来，再加上没有被这类笼覆盖的已填数字。
3. 相减。余数就是剩余格对应的虚拟笼总和。
4. 判断这些格里数字能否重复。共享同一行、列、宫或笼的格必须不同；什么都不共享的格可以放相同的数字。
5. 按这条规则列出所有能达到总和的组合，然后删除在所有组合中都不存在的候选数。

一个实例

把第 1 列和第 2 列放在一起看。

每列总和是 45，所以两列合起来是 90。有三个笼完全位于其中：29 笼（B1、B2、C1、D1、E1、F1）、22 笼（D2、E2、F2、G2、H2）和 20 笼（G1、H1、J1、J2）。它们覆盖 15 个格，和为 29 + 22 + 20 = 71。

还剩 3 个格：A1 和 A2（在沿行 A 的 26 笼里）以及 C2（在 25 笼 B3、C2、C3、D3 里）。三者合起来是 90 - 71 = 19，这是一个没有印出轮廓的虚拟笼。C2 只能是 6、8 或 9，所以 A1 + A2 是 13、11 或 10。A1 或 A2 里若是 1，另一个就需要是 12、10 或 9，而这两个格都不能放 9。所以 1 离开 A1 和 A2。

这里三个格彼此都互相看得到（行 A、第 2 列和第 1 宫），所以必须互不相同。没有共享任何区域的剩余格可以重复数字，这种情况在列出组合时需要格外小心。

单格与多格

常见错误

• 以为剩余格必须不同。 位于不同行、列、宫的两个内凸格可以共用一个数字。禁止重复会丢掉真正的解。
• 混用重叠的区域。 共享三个格的一行和一个宫，总和不是 90。只有不相交的区域才能干净地相加。
• 纠缠于大的格组。 四五个剩余格很少能削减什么。两三个才是最佳点。
• 忘了重新检查。 每次填数都会改变内部总和，所以一小时前毫无收获的范围，现在可能就有收获了。

在哪里遇到它

这是进阶技巧级别的逻辑。较简单的杀手数独盘面会让单个剩余格早早且频繁地出现，但从困难杀手数独往上，出题者会刻意在每个宫里安排两个跨区笼，让简单形式失效。学会把相邻两行的带看成一个 90 点的区域，是让这些题目继续推进的一步。