唯一矩形：数独唯一性技巧

这个技巧阶梯上的其他技巧，推理的都是盘面里的数字。唯一矩形（Unique Rectangle）推理的却是题目本身：规范的数独恰好只有一个解，所以任何会导致两个解的排列都不可能是答案的一部分。仅凭这一点，就能排除别的技巧碰不到的候选数。

这个图形是什么

四个格子位于一个矩形的四个角（两行、两列），关键在于它们恰好分布在两个宫里。如果四个角最后都只剩同样的两个候选数，比如 3 和 7，题目就出问题了：

这里四个角只有 3 和 7。只要矩形恰好跨越两个宫，下面两种填法都能解出盘面：

填法	上面一行	下面一行
一	3 7	7 3
二	7 3	3 7

把两个数字沿对角线互换，每一行、每一列、每一宫仍然各含每个数字一次。这就是两个有效的解。规范的题目只有一个解，所以这种形状，即致命型，绝不可能出现在完成的盘面里，而能避免它的条件必定成立。

同样的论证也适用于更长的偶数环：在两个区域之间交替的六格或八格唯一环（Unique Loop），读法与四格矩形完全一样。

四种类型

只有当四个角接近只剩那个数对时，致命型才构成威胁。能排除什么，取决于有多少个角带有额外候选数。

类型	你看到的情况	你要排除的
1	三个角恰好是这个数对；一个角有额外数	把数对的两个数字从那一个角中删除
2	两个角带有同一个额外数字	把该额外数字从同时看到两个角的每个格中删除
3	两个角合起来带有多个额外数	这些额外数在共同区域里充当显性或隐性数组
4	共同区域里，数对中某个数字只能填在这两个角	把数对的另一个数字从这两个角中删除

类型 1 最常见，也最容易相信：如果那个角也只剩 3 和 7，致命型就完整了，所以它必须保留一个额外数。

双候选数全域墓（BUG）

矩形是四个格子上的致命型。双候选数全域墓（Bivalue Universal Grave，BUG）是把同一个论证扩展到整个盘面：如果每个未填的格子都恰好有两个候选数，并且每个候选数在每一行、每一列、每一宫里恰好出现两次，整个盘面就能同时在两个解之间互换。规范的题目绝不可能真的落入这种状态。

实际中你会在差一格时抓到它：除一个格子有三个候选数外，其余未填格都是双候选数格。这种状态叫 BUG+1。这个多出来的格子里有两个候选数，表现得和真正的 BUG 一样：它们在所属的每一行、每一列、每一宫里恰好出现两次。第三个候选数则在这个格子自己的各个区域，即它的行、列和宫里，各出现三次。这第三个数必须是答案：如果这个格子填了另外两个数中的任何一个，盘面其余部分就会落入真正的 BUG 状态，而规范的题目不可能有这种状态。

下面的例子里，J5 有 1、2 和 3，其他未填格都是双候选数格。在 J 行里，1 和 3 各有两个位置，但 2 有三个：J5、J6 和 J7。第 5 列（D5、H5、J5）和第 8 宫（H5、J5、J6）里，2 也各有三个位置。如果 J5 是 1 或 3，盘面就会成为双候选数全域墓，所以 J5 里的 1 和 3 要删掉，只剩 2。这样就得到一个唯一数的填入。

简单技巧已用尽。数一数每个空格的候选数。
除 J5 有三个候选数（1、2、3）外，每个空格都恰好有两个候选数。
在行 J 中，1 和 3 各有两个位置，而 2 有三个：J5、J6、J7。
列 5（D5、H5、J5）和宫 8（H5、J5、J6）里 2 也有三个位置。
如果 J5 是 1 或 3，每个空格都只剩两个候选数，每个数字在每行、每列、每宫里都只有两个位置。
这种图形，即双候选数全域墓（BUG），绝不会恰好只有一个解。合格的数独不可能含有它。
从 J5 中排除 1 和 3，所以 J5 是 2，也就是在它的行、列、宫里出现三次的数字。

简单技巧已用尽。数一数每个空格的候选数。

类型 2 到 4 用与上面唯一矩形类型相同的方式推广这个思路：更多的格子带有额外候选数，论证变成对共同区域的排除，而不是单个填数。BUG+1 比矩形更难发现，大多数解题者以及 Sudoku Explainer 这类自动评分器，给它的评级都明显高于普通的唯一矩形。

什么时候找它

唯一性是后期技巧，不是因为它难发现，而是因为一旦你开始找，到处都能看到。先用完唯一数、数组、指向数对和鱼形；等盘面陷入沉寂、数对在两个宫之间反复出现时，再去用矩形。

有一个条件是绝对的：必须确知这道题只有唯一解。本站的每道题都满足，所以在这里这个论证随时可用。如果你解的是来历不明的盘面，或是自己构造的盘面，唯一性可能悄悄地给你错误的答案。

具体怎么做

扫描恰好有两个候选数的格子，记下这个数对。
在它同一行的格子里找相同的数对，然后检查补全矩形的另外两个格子。
确认矩形恰好跨越两个宫，跨四个宫就没有致命型，也推不出什么。
数一数带有额外候选数的角：一个角是类型 1，两个角是类型 2、3 或 4。
按该类型做排除，然后重新运用基础技巧，矩形通常会引出一连串唯一数。

实例演示

两个矩形，各自恰好跨越两个宫。

类型 1。 B4、B5、H4 和 H5 是四个角，位于第 2 宫和第 8 宫。B5、H4 和 H5 只有 1 和 6。B4 除了 1 和 6，还有 7 和 8。如果 B4 是 1 或 6，四个角就有两种填法，题目就会有两个解。所以 B4 里的 1 和 6 要删掉，保留 7 和 8。

简单技巧已用尽。看行 B 和行 H 中的列 4 与列 5。
B4、B5、H4、H5 是一个矩形的四个角：两行、两列，且恰好跨两个宫，即宫 2 和宫 8。
B5、H4、H5 只含 1 和 6。B4 也含 1 和 6，另外还有 7 和 8。
假设 B4 是 1 或 6。那么四个角可以有两种填法，颜色 A 或颜色 B，每行、每列、每宫仍然成立。
盘面上没有任何其他条件能区分这两种填法，题目就会有两个解。合格的数独只有一个解。
所以 B4 必须取它多出的数字，7 或 8。
从 B4 中排除 1 和 6，因为其中任何一个都会构成有两个解的矩形。

简单技巧已用尽。看行 B 和行 H 中的列 4 与列 5。

类型 2。 G1、J1、G8 和 J8 是四个角，位于第 7 宫和第 9 宫。G1 和 J1 只有 5 和 7。G8 和 J8 有 5、6 和 7，所以两者都带有额外的 6。如果它们都不是 6，四个角同样有两种填法。所以 G8 或 J8 是 6。A8 通过第 8 列同时看到两者，J7 通过第 9 宫同时看到两者，所以 A8 和 J7 里的 6 要删掉。

简单技巧已用尽。看行 G 和行 J 中的列 1 与列 8。
G1、J1、G8、J8 是一个矩形的四个角，恰好跨两个宫，即宫 7 和宫 9。
四个角都含 5 和 7。G1 和 J1 没有别的候选数；G8 和 J8 还含 6。
如果 G8 和 J8 都不是 6，四个角就可以用 5 和 7 以两种方式填入，颜色 A 或颜色 B，而盘面其余部分无法区分它们。
合格的数独只有一个解，所以 G8 或 J8 必有一个是 6。
A8 通过列 8 看到 G8 和 J8。J7 通过宫 9 看到它们。
从 A8 和 J7 中排除 6，因为 G8 和 J8 之一是 6。

简单技巧已用尽。看行 G 和行 J 中的列 1 与列 8。

常见错误

使用跨四个宫的矩形。这时对角互换会破坏某个宫，所以没有致命型，也没有论证。
把它用在可能有多个解的题目上。整个技巧都建立在题目规范这一前提上。
忘了另外三个角必须只有这个数对。别处多出一个候选数，图形就变成另一种类型，或者什么也不是。
把它与矩形排除法混淆，后者是普通的单数字逻辑，不假定解是唯一的。
在类型 1 里排除了额外数而不是数对。那个角保留它的额外数，失去的是数对的两个数字。

在哪里会遇到它

唯一矩形是魔鬼技巧级别的图形。它们从专家数独开始见效，并且在更高级别一直有用，常常能把停滞的盘面重新变成一连串唯一数。它们在杀手数独里也会出现，笼的和常常恰好留下这个图形所需的双候选数角。

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