杀手数独的内凸格与外凸格

内凸格与外凸格把笼的算术直接变成一个填好的数字，因此是进入杀手数独盘面最快的方法。它们基于一个事实：每一行、每一列和每个宫都恰好包含数字 1 到 9 各一次，所以每一个的总和都是 45。这就是 45 法则，几乎所有杀手数独的逻辑都由它驱动。

这个图形是什么

笼是用虚线框出的一组格，有目标和，且内部数字不重复。选一个区域，比如一个宫，把完全落在其中的笼的和加起来。如果这些笼覆盖了九个格中的八个，第九个格就是内凸格（innie），它的值是 45 减去笼的总和。

外凸格（outie）是同一个和倒过来读。覆盖这个区域的笼恰好多伸出一个格，所以这些笼的总和算了九个格外加一个多余的格。多出来的那个格就是外凸格，它的值是笼的总和减去 45。

两者得到的都是填数，而不是排除。所以它们属于解题最开始的一步。

什么时候找它

• 开局第一遍，在你写下任何候选数之前。内凸格只需要印好的和。
• 沿着盘面的外框。边缘的行、边缘的列和角上的宫被笼穿过的更少，所以恰好剩一个格的情况很常见。
• 每完成一个笼之后。一个完成的笼算作完全在它的区域内，这可能让一个刚才还没空出来的格单独空了出来。

具体怎么做

1. 选一行、一列或一个宫。
2. 标出完全落在其中的每个笼，把它们的和加起来。已经填在这些笼之外的数字也要算，把它们加进去。
3. 数一数被覆盖的格。覆盖八个、剩一个空格，就是内凸格。
4. 内凸格的值等于 45 减去你刚加出的总和。
5. 如果覆盖该区域的笼反而恰好伸出区域之外一格，那个格就是外凸格：用这些笼的总和减去 45。
6. 填上数字，然后重新检查相邻的区域。一次填数常常会露出下一个内凸格。

内凸格实例

看第 1 列，以及完全落在其中的笼。

第 1 列里有三个笼：和为 5 的笼（A1，已填好）、和为 28 的笼（C1 到 G1）和和为 10 的笼（H1、J1）。它们一共覆盖八个格，加起来是 5 + 28 + 10 = 43。这一列总和为 45，所以被落下的那个格 B1 是 45 - 43 = 2。B1 属于和为 13 的笼（A2、B1、B2），这个笼伸出了这一列，所以它是内凸格。填上 2，就把 2 从 A2、B5、B6、G1、H1 和 J1 中清除了。

外凸格实例

外凸格用同样的算术，只是反过来。看宫 6，以及与它相接的笼。

和为 11 的笼（E7、F7）和和为 22 的笼（E8、E9、F8、F9）完全落在宫 6 内，所以它们占了这个宫 45 中的 33。剩下的格 D7、D8 和 D9 加起来是 12。这三个格属于和为 21 的笼，它的第四个格 D6 在宫之外，位于宫 5。那个格就是外凸格：D6 = 21 - 12 = 9。同样的结果用一次减法就能得到：与这个宫相接的三个笼总和是 11 + 22 + 21 = 54，宫的总和是 45，所以外面那一个格是 54 - 45 = 9。填上 9，就把 9 从 D3、D7、D8、E5、E6、F5 和 G6 中清除了。

常见错误

• 把只有一部分在区域内的笼也算进去。 笼只有在它的每个格都在区域内时才有用，除非它是你正在测量的那个唯一跨界的笼。
• 忽略已填的数字。 一个已解出的格，如果不属于任何完整的区域内笼，仍然计入 45。把它加上。
• 剩下两个格。 有两个空格时，你得到的是一个和，而不是一个数字。那是这个技巧的多格版本，难一个台阶。
• 算术失误。 相信答案之前，重新数一遍被覆盖的格。一个区域是九个格，不多也不少。

在哪里遇到它

内凸格与外凸格是几乎每一个杀手数独盘面的第一步，包括简单杀手数独。要把单格版本练到烂熟：阶梯上更高处的多格变体，就是把同样的减法用在更大的剩余部分上。