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顯性四數組與隱性四數組

進階經典 + 殺手第 21 步,共 38 步閱讀約 2 分鐘

顯性四數組與隱性四數組是你已在數對和三數組中用過的子集概念,擴大到 4 格的版本。同一個區域內的 4 個格子,合起來佔據 4 個數字,區域內的其他格子都必須放棄這些數字。

這個模式是什麼

顯性四數組是一列、一行或一宮中的 4 個格子,把它們的候選數清單合在一起,恰好只有 4 個不同的數字。這 4 格必須用完這 4 個數字,所以區域內其他格子都不能再有它們。

隱性四數組是同一個事實從另一側來看:4 個數字在區域內只能出現在 4 個格子。這 4 格必須吞下全部 4 個數字,所以它們裡面的其他候選數全都不可能。

顯性四數組隱性四數組
你要數4 個選定格子中的數字4 個選定數字可用的格子
觸發條件4 格,合計共 4 個數字4 個數字,合計共 4 個可能格
排除這些數字離開區域的其餘格子其他所有數字離開這 4 格
格子大小每格有 2、3 或 4 個候選數任何大小,常常有 5 個以上

每一格不需要都有全部 4 個數字。由 {1,4}、{3,8}、{1,3,4} 和 {4,8} 組成的四數組完全有效,只要聯集恰好是 4 個數字。

什麼時候該找它

  • 區域內有足夠多的未解格子,使得四數組之後還有東西可以清理,而且更簡單的方法都行不通。
  • 你看到 2 或 3 個格子共用一小組數字,只差一格就能完成這個群組。
  • 區域內候選數很密,但有 4 個數字一再出現在同樣的那幾格。這就是隱性形式。

如何一步步套用

  1. 選一個區域,列出每個未解格子的候選數。
  2. 顯性形式:取 4 個格子,它們合併的候選數恰好有 4 個數字。
  3. 從區域內其他每一格劃掉這 4 個數字。
  4. 隱性形式:數出每個數字可用的格子,再找出 4 個數字,它們的格子加起來恰好是 4 格。
  5. 刪除這 4 格中的所有其他候選數,區域其餘部分不要動。

實例演練

顯性四數組

看 J 列:8 個格子是空的,只有 J9 (8) 已填。注意 4 個標示的格子:J1 有 4 和 9,J4 有 1、4 和 5,J5 有 1、5 和 9,J6 有 4、5 和 9。

  1. 較簡單的技巧都用完了。看看 J 列。

  2. J 列有 8 個空格,只有 J9 已填。

  3. J1 有 4 和 9,J4 有 1、4、5,J5 有 1、5、9,J6 有 4、5、9。

  4. 這 4 格合起來只用到 4 個數字:1、4、5、9。所以它們會以某種順序放這 4 個數字。

  5. J 列其他格都不能放 1、4、5、9。J2、J3、J7 還顯示其中一些。

  6. J2、J7 排除 4,J2、J3 排除 9,因為 J 列的 4 和 9 都在四數組內。

較簡單的技巧都用完了。看看 J 列。

這 4 格合起來只用到 1、4、5 和 9。沒有任何單一格子擁有全部 4 個,但 4 個格子配 4 個數字,必定以某種順序各放一個。所以 J 列在其他任何地方都不能用這些數字。其他格子是 J2 (3, 4, 6, 7, 9)、J3 (2, 3, 6, 7, 9)、J7 (2, 3, 4) 和 J8 (2, 3, 7)。從 J2 和 J7 移除 4,從 J2 和 J3 移除 9:共 4 次排除。J8 沒有這 4 個數字,所以不受影響。

隱性四數組

隱性四數組最容易靠數每個數字的格數來發現。看第 9 宮,這裡 9 個格子全是空的。注意 2、3、5 和 7 能放哪裡。

  1. 較簡單的技巧都用完了。看看第 9 宮,這裡每一格都還是空的。

  2. 第 9 宮中,數字 2、3、5、7 的候選位置只在 H8、H9、J8、J9。

    2 只能放在 J8 和 J9,3 只能放在 H8 和 H9。

  3. 4 個數字被鎖在同樣的 4 格裡,所以 H8、H9、J8、J9 剛好以某種順序放 2、3、5、7。

  4. 顯示所有筆記後,這 4 格還有其他候選數:H8 有 9,H9 有 8,J8 有 1,J9 有 1 和 8。

    它們都沒有空位了,因為這 4 格已被四數組占滿。

  5. J8、J9 排除 1,H9、J9 排除 8,H8 排除 9,因為這些格必須放 2、3、5、7。

較簡單的技巧都用完了。看看第 9 宮,這裡每一格都還是空的。

在第 9 宮中,數字 2、3、5 和 7 只能放在 H8、H9、J8 和 J9:2 只能在 J8 和 J9,3 只能在 H8 和 H9,5 和 7 則 4 格都可以。4 個數字需要 4 個不同的格子,而可用的只有 4 格,所以 H8、H9、J8 和 J9 以某種順序恰好放 2、3、5 和 7。這些格子中其他所有候選數都刪除:J8 和 J9 的 1,H9 和 J9 的 8,H8 的 9。宮的其餘部分維持原樣。

常見錯誤

  • 把一個數字算兩次。4 個格子的聯集必須是 4 個數字,而不是出現 4 次。
  • 納入一個有第 5 個數字的格子,還想著「它大概會消失」。它要嘛現在就屬於這組,要嘛就不屬於。
  • 把顯性四數組套用到不在同一個區域的格子。分散在 2 個宮的 4 格什麼也證明不了。
  • 清錯了一側。顯性四數組清除區域其餘部分;隱性四數組清除四數組格子本身。

五數組與六數組

顯性集合的概念不會停在 4 格。5 個格子之間只共用 5 個數字,稱為顯性五數組;6 個格子共用 6 個數字,稱為顯性六數組。但區域只有 9 個格子,所以 5 或 6 個數字的顯性集合,背後一定留下一個較小的互補隱性集合(最多 4 格),而隱性版本幾乎總是比較容易發現,因為格子越少,要掃描的候選數清單越短。這就是五數組和六數組很少在解題指南中被點名的原因:解題者會先找到較小的隱性集合,根本用不到大的顯性集合。

你會在哪裡遇到它

四數組從困難經典數獨開始變得必要。它們比數對和三數組少見,你找到的大多數四數組,早就被更便宜的招式解決了,所以只有在唯一數、數對、三數組和指向規則都不再有產出之後,才動用它。